Worldviews Discussion Paper

Een gelaagd beeld van de werkelijkheid

Hubert Van Belle

De mens wordt geconfronteerd met een steeds complexer wordende wereld die hem in verwarring brengt en waarin hij nog moeilijk zijn weg vindt. De wereld waarin we leven wordt immers gekenmerkt door een onoverzichtelijk kluwen van relaties dat ondoorzichtig en ondoorgrondelijk schijnt. Deze complexe wereld is het resultaat van een evolutieproces waarin de materie zich tot ingewikkelde structuren organiseerde en steeds meer verbanden ontstonden. Voorbeelden van dergelijke organisatiestructuren zijn de levende wezens en sociale organisaties. Niet alleen de structuur maar ook het gedrag van deze organisatiestructuren is zeer ingewikkeld. De toegenomen structurele complexiteit maakte ingewikkelde gedragspatronen en mentale processen mogelijk. Er doken gecompliceerde fenomenen op zoals bijvoorbeeld leven, zelfbewustzijn en vrije wil. Men kan zich afvragen of het wel mogelijk is om een inzicht te verwerven in deze complexe werkelijkheid. Zal men er ooit in slagen een overzichtelijk beeld te maken dat zowel de micro- als de macrowereld beschouwt en daarbij evenzeer de fysische als de mentale processen in rekening brengt? Bestaat er een wetenschappelijke methode die ons toelaat om de complexiteit te beheersen en door de bomen het bos te zien? De analytische benadering en de gestructureerde aanpak geven een positief antwoord op deze vraag. Ze leiden tot een gelaagd beeld op de werkelijkheid dat de algemene structuur van de wereld weergeeft. Het gaat in feite om een denkkader waarin de exacte wetenschappen en de menswetenschappen kunnen ingepast worden. In dit gelaagd beeld verschijnt het nog vrij weinig bekende emergentiebegrip ten tonele. Emergentie drukt de meerwaarde van de hogere lagen ten opzichte van de lagere lagen van de werkelijkheid uit. Een belangrijke vraag die zich daarbij stelt is of de reductionistische visie van de exacte wetenschap volledig opgaat en wel alle emergente eigenschappen tot de basiswetten van de natuur te herleiden zijn.

1. Verdeel en heers

In de wetenschap gaat men er van uit dat de analytische methode met succes kan toegepast worden om complexe problemen aan te pakken. Om een ingewikkeld probleem op te lossen, splitst men het op in gemakkelijker oplosbare deelproblemen die één na één opgelost worden. In feite past men de aloude "verdeel en heers" methode toe. Ten einde het gedrag van een systeem te bestuderen splitst men het geheel op in eenheden waarvan het gedrag afzonderlijk onderzocht wordt. Een persoonlijke computer (PC) bijvoorbeeld is samengesteld uit het eigenlijke computersysteem, een scherm, een toetsenbord, een muis en een printer. Wordt het computersysteem zelf verder geanalyseerd dan vindt men o.m. een kast, een elektrische voeding, een processorkaart, een RAM-geheugen, een harde schijf, een diskettedrive, een CD-ROM speler en een videokaart. De analysefase dient gevolgd te worden door een synthesefase waarin men de eenheden terug samenvoegt en hun interacties in rekening brengt om het gedrag van het geheel af te leiden. Men neemt aan dat eigenschappen van een geheel volledig bepaald worden door de eigenschappen van de elementen waaruit het bestaat en de relaties die hun onderlinge verbindingen kenmerken. Dit in feite reductionistisch uitgangspunt is gebaseerd op de overtuiging dat er niets verloren gaat bij het opsplitsen van een globaal probleem in zijn deelproblemen.

In de meeste gevallen wordt de analytische methode op een hiërarchisch gestructureerde manier toegepast. Een boek kan bijvoorbeeld opgedeeld worden in hoofdstukken, paragrafen, zinnen, woorden en letters. Op een gelijkaardige manier kan men een organisme beschouwen als opgebouwd uit organen, weefsel, cellen, moleculen, atomen en kwantumdeeltjes. Men richt zich dus in de eerste plaats op het geheel en daalt dan geleidelijk tot in de details af. Hierdoor wordt vermeden dat men, door zich teveel op de details te richten, het geheel uit het oog verliest. Het is belangrijk op te merken dat men ook gedurende de analysefase de relaties tussen de elementen niet mag verwaarlozen. Wil men een abstracte operatie vermijden die niets met de werkelijkheid te maken heeft, dan moet tijdens de gestructureerde ontbinding rekening gehouden worden met de samenhang tussen de elementen. Clusters van elementen die intens interageren en zich enigszins t.o.v. hun omgeving afschermen, dienen samen beschouwd te worden. Dit leidt tot een visie op de werkelijkheid als een bouwpakket met onderdelen die eerst tot samenstellingen, vervolgens tot modules en tenslotte tot een geheel kunnen samengebouwd worden. Tijdens een hiërarchisch gestructureerde ontbinding ontstaan lagen, niveaus van detaillering. Men beschouwt het bestudeerde onderwerp min of meer in detail. De eenheden die men op een bepaald niveau vindt, worden in de lagere niveaus verder uitgerafeld tot kleinere eenheden en tenslotte tot basiselementen. Omgekeerd kan men stellen dat de gehelen van een lagere laag de bouwelementen van een hogere laag vormen.

Een gelijkaardig lagenmodel wordt gehanteerd bij het verklaren van de werking van een PC. Men heeft het over hardware, systeemsoftware en toepassingssoftware. Zowel de hardware als de software kunnen ontbonden worden en dit respectievelijk in elektronische componenten en programma-instructies. De software spreekt de functionele eenheden van de hardware aan die nodig zijn om het computersysteem op de gewenste manier te laten werken. Zonder hardware heeft software geen betekenis en de hardware vormt het platform voor de informatie verwerkende processen. Op analoge wijze vormen de fysische lagen van de werkelijkheid het platform voor de hogere niveaus waarop de denkprocessen zich afspelen. Deze processen krijgen een steeds abstracter en symbolischer karakter.

2. De gelaagde werkelijkheid

Kijken we op deze gestructureerde manier naar de wereld dan groeit er een beeld van de werkelijkheid als een netwerk van relaties met een gelaagde structuur. Men kan volgende lagen onderscheiden:

De onderliggende lagen vormen de voedingsbodem waarop de hogere lagen zich ontwikkelden. Ze zijn eveneens de dragers van de wetmatigheden die de gedragspatronen en mentale processen op hoog niveau mogelijk maken. Dit denkkader vertoont een vrij grote overeenkomst met het beeld van de drie werelden van Karl Popper [1].

Merk op dat we in dit gelaagd beeld op de werkelijkheid niet alleen fysische lagen onderkennen maar dat we ook gedragspatronen en mentale processen gestructureerd beschouwen. Dit doet ons opnieuw aan een persoonlijke computer (PC) met zijn hardware- en softwarelagen denken. Analoog aan hardware en software kunnen de diverse lagen van de werkelijkheid in harde materiële en zachte immateriële lagen ingedeeld worden. De harde laagste lagen zijn opgebouwd uit fysische elementen die een hiërarchische structuur vormen. Achtereenvolgens vindt men bijvoorbeeld kwantumdeeltjes, atomen, moleculen, cellen, weefsels, organen en levende wezens. De hogere lagen met hun zachter karakter groeperen gedragspatronen en mentale processen waarvan de complexiteit eveneens toeneemt als men naar een hoger niveau opklimt. Bovendien worden de regels minder star en blijkt de (reductionistische) onbepaaldheid toe te nemen.

In deze gestructureerde visie op de werkelijkheid neemt men aan dat de elementen van de onderliggende lagen kunnen gegroepeerd worden tot modules die de bouwstenen van de hogere lagen vormen. De systemen die naar de hogere lagen van de werkelijkheid doorgroeien worden gekenmerkt door een toenemende verwevenheid, orde, complexiteit en organisatiegraad. Naarmate de organisatiegraad toeneemt krijgt de werkelijkheid een steeds immateriëler aard. Ook in de computerwereld wordt software belangrijker dan hardware. Voor het bestuderen van elk van deze lagen maakt de wetenschap gebruik van eigen talen en theorieën. Men doet een beroep op de kwantummechanica, fysica, biologie, psychologie, sociologie, economie,... Ook hier kan men verwijzen naar het voorbeeld van de PC-wereld waar men met computertalen voor systeemsoftware (DOS, Windows) en voor toepassingssoftware (Word, Excel,...) geconfronteerd wordt.

De voor een groot deel gescheiden ontwikkeling van de diverse wetenschappen en hun uiteenlopende benaderingsmethoden wijzen erop dat er een zekere graad van onafhankelijkheid tussen de verschillende lagen van de werkelijkheid bestaat. Het gedrag in de onderliggende lagen is van die aard dat het voor een groot deel buiten beschouwing kan gelaten worden bij de studie van de bovenliggende niveaus. Men is er bijvoorbeeld van overtuigd dat de chaos op microscopisch vlak een robuuste macroscopische wereld mogelijk maakt. In computertermen gesteld zijn de lagere lagen ‘transparant’ vanuit de hogere lagen gezien. De verschillende lagen kunnen echter niet volledig los van elkaar beschouwd worden indien men de werkelijkheid globaal wil verklaren. De lagere lagen bieden de mogelijkheidsvoorwaarden voor de ontwikkelingen in de hogere lagen en de processen in de bovenliggende lagen beïnvloeden op hun beurt het gedrag in de onderliggende lagen. Een volledige ontkoppeling van disciplines is dus niet mogelijk en er blijft nood aan grensoverschrijdende benaderingen, globale visies en integrerende wereldbeelden.

3. De reductionistische droom

Een grote droom van de wetenschap bestaat in het afleiden van de eigenschappen van de hogere lagen uit de karakteristieken van de lagere lagen. Deze afleiding zou volgens de reductionistische visie op de werkelijkheid principieel geen onoverkomelijke problemen mogen opleveren. Het globaal gedrag van een geheel volgt immers uit het gedrag van de afzonderlijke elementen en hun wederzijdse beïnvloeding. Dit houdt in dat de werkelijkheid volledig door elementaire wetten bepaald wordt. Complexe structuren en gedragspatronen vinden bijgevolg hun verklaring in elementaire regels. Met eenvoudige Legoblokjes die op een beperkt aantal wijzen met elkaar kunnen gecombineerd worden kan men bijvoorbeeld de meest fantastische constructies bouwen. Bij simulaties met cellulaire automaten leiden eenvoudige regels soms tot een zeer complex gedrag. Met enige verbeelding heeft men het over "artficial life", kunstmatig leven. Indien deze visie tot in het uiterste doorgedreven wordt dan lijkt het mogelijk het gedrag van sociale organisaties uit de wetten van de kwantummechanica af te leiden.

Er werd echter reeds op gewezen dat de wetenschappen voor het beschrijven van het gedrag in elk van de lagen van de werkelijkheid een beroep doet op andere talen en theorieën. Dit is niet alleen het gevolg van de historische ontwikkeling van de wetenschap. De meeste wetenschappelijke benaderingen blijken niet invariant te zijn voor niveauveranderingen. De traditionele mechanica is bijvoorbeeld niet toepasbaar in de schimmige wereld van de kwantumdeeltjes. Het "opschalen" van de methodes van de mechanica naar de menswetenschappen lijkt evenmin zeer geslaagd te noemen. Het blijkt ook nog niet altijd praktisch doenbaar te zijn om het gedrag van complexe organisatiestructuren tot elementaire wetten te herleiden. Misschien is deze reductionistische benadering in bepaalde gevallen zelfs principieel niet mogelijk. Is dit het gevolg van de complexiteit van de problematiek of verklaren de onderliggende lagen het gedrag van de bovenliggende lagen niet volledig? Vereist ieder niveau zijn eigen benaderingen die niet tot lagere niveaus te reduceren zijn? Men kan zich dan ook afvragen of we hier niet op een fundamenteel probleem stuiten.

We kunnen dit alles nog verder verduidelijken met het voorbeeld van de PC en zijn hardware- en softwarelagen. Voor het beschrijven van het gedrag van de PC-hardware kan men gebruik maken van de elektronica en Booleaanse algebra. Het computersysteem wordt meestal door DOS en Windows bestuurd. Uiteindelijk werkt de PC-gebruiker in veel gevallen met een Word-tekstverwerker of een Excel-rekenblad. In elk van de lagen worden aan de eisen van de laag aangepaste theorieën en talen gebruikt. Het hoeft geen betoog dat de elektronica geen geschikte taal is om rekenbladen mee te definiëren. Alhoewel de hoger niveau talen (na compilatie) gebruik maken van de lager niveau programma-instructies die de elektronische functies activeren kan men toch niet stellen dat de hardware het gedrag van de PC volledig bepaalt. De hardware biedt een platform dat nog immens veel mogelijkheden van gebruik open laat. Door programmatie kan men de PC de nodige instructies geven om de gewenste taken uit te voeren. De resultaten hebben een betekenis voor de gebruiker en kunnen niet los van de context gezien worden. Gaat het alleen om talen en theorieën die niet reduceerbaar lijken te zijn of hebben we hier met iets wezenlijks te doen? Men dient zich in dit verband af te vragen hoe de eigenschappen van een geheel zich verhouden tot de eigenschappen van de delen.

4. Opduikend emergent gedrag

Het zich organiseren van de materie en het ontstaan van complexe organisatiestructuren is karakteristiek voor de werkelijkheid. Worden de organisatiestructuren die zich in het verleden ontwikkelden op een complexiteitsschaal en in de tijd gerangschikt dan kan men een evolutie naar een toenemende complexiteit vaststellen. Het ontstaan van orde uit chaos gaat globaal gezien gepaard met een toenemende organisatiegraad. Er duiken daarbij tal van eigenschappen op die op lager niveau niet voorkomen en volledig nieuw schijnen. Niet zozeer de toenemende complexiteit zelf is merkwaardig maar wel het verschijnen van nieuwe gedragspatronen, wetmatigheden en eigenschappen. Eigenschappen van vaste stoffen en vloeistoffen zoals smelten en verdampen bestaan bijvoorbeeld niet op moleculair niveau. Ook temperatuur is in feite een macroscopische grootheid. Andere voorbeelden van het opduiken van nieuwe eigenschappen zijn leven, zelfbewustzijn, vrije wil, abstract taalgebruik en onbaatzuchtig gedrag. Complex samengestelde gehelen blijken eigenschappen te bezitten die een totaal ander karakter hebben dan de eigenschappen van de delen waaruit ze bestaan.

De eigenschappen van een geheel volgen niet zonder meer uit de karakteristieken van de delen. Men moet niet alleen de delen maar ook hun interacties in rekening brengen. Een groep van intens samenwerkende mensen blijkt in verhouding veel meer te kunnen bereiken dan een aantal eerder onafhankelijk van elkaar optredende enkelingen. Men stelt dan ook dat het geheel meer is dan de som van zijn delen. Er wordt van een meerwaarde, synergie en "win-win" relaties gesproken. Men heeft het soms ook over een geheel dat anders is dan de delen waaruit het bestaat. Er blijken dus op de hogere niveaus van de werkelijkheid onverwachte eigenschappen op te duiken. Men spreekt over emergente eigenschappen en noemt dit fenomeen emergentie.

Veel emergente eigenschappen die in de hogere lagen van de werkelijkheid opduiken lijken moeilijk exact wetenschappelijk en volledig reductionistisch te verklaren. Men is er tot nu toe niet in geslaagd ze volledig tot eigenschappen van lagere lagen of tot elementaire wetten te herleiden [2]. Gecompliceerde fenomenen zoals bijvoorbeeld leven, zelfbewustzijn en vrije wil lijken zelfs niet reductionistisch verklaarbaar. Maakt de grote complexiteit van de organisatiestructuren dit in de praktijk onmogelijk of bestaan er fundamentele theoretische redenen waarom dit niet kan? Botsen we hier op de grenzen van de reductionistische benadering en zijn we gedwongen om het emergentieconcept in te voeren? Kan emergentie niet in alle gevallen "weg-gereduceerd" worden? Deze vragen vormen een grote uitdaging voor het reductionistisch project van de wetenschap.

5. De grenzen van het reductionisme

Het probleem van voorspelbaarheid van complex systeemgedrag komt hier aan de orde. De studie van niet-lineaire systemen heeft de ogen van de wetenschapsmensen geopend voor de wereld van de complexe verschijnselen. Bij lineaire systemen is het gevolg van een externe beïnvloeding evenredig met de oorzaak. Bij niet-lineaire systemen is dit niet meer het geval en ontstaan er allerhande merkwaardige gedragspatronen. Men wordt bijvoorbeeld geconfronteerd met plotse sprongen indien men met catastrofaal gedrag te doen heeft. In het geval van bifurcaties kan de evolutie verschillende wegen opgaan zonder dat er in de wiskundige modellen een voorkeur blijkt. Bij chaotisch gedrag veroorzaken kleine oorzaken zeer grote gevolgen en is de evolutie zeer grillig en niet meer exact reproduceerbaar. Onder bepaalde omstandigheden wordt het gedrag van niet-lineaire systemen dus onvoorspelbaar. De evoluties verlopen niet meer continu en de causale ketens van oorzaak naar gevolg worden door onbepaaldheden verbroken. Zelfs vrij eenvoudige en deterministische systemen kunnen een gedrag vertonen waarvan het verloop wel door exacte formules kan weergegeven worden maar praktisch toch onvoorspelbaar blijkt.

Inderdaad, zelfs bij deterministische systemen bestaande uit componenten met deterministische eigenschappen kan chaotisch gedrag optreden. Dit gedrag is zo gevoelig voor kleine wijzigingen en vertoont zulke grillige evoluties dat het onvoorspelbaar wordt. Ook indien men over alle noodzakelijke gegevens beschikt om het probleem op te lossen, blijft het resultaat toch nog onbetrouwbaar in de praktijk. Zelfs het verhogen van de nauwkeurigheid biedt geen oplossing. We botsen hier blijkbaar op een fundamenteel probleem. Het volstaat immers niet om de eigenschappen van de elementen en hun interacties nauwkeurig te kennen om het gedrag van het geheel op een betrouwbare manier te kunnen berekenen. De reductionistische methodes zijn dus niet steeds in staat een sluitend antwoord te bieden op de vraag om niet-lineair gedrag te voorspellen. Ofwel is dit antwoord niet te geven omwille van wezenlijke onzekerheden en onbepaaldheden in de natuur. Ofwel ontsnappen een aantal dingen aan de reductionistische methodes.

Er zijn sterke aanwijzingen dat de reductionistische methodes nooit in staat zullen zijn om alle complex systeemgedrag te verklaren. We kunnen dit illustreren met een voorbeeld uit de wiskunde. Volgens de stelling van Gödel volstaat een beperkt aantal consistente axioma’s niet om de rekenkunde volledig te onderbouwen. Het is mogelijk om stellingen te formuleren waarvan binnen het systeem van axioma’s niet kan bewezen worden of ze al dan niet geldig zijn. Men moet een beroep doen op steeds meer axioma’s om alle geldige eigenschappen te bewijzen. Uit de stelling van Gödel kunnen we afleiden dat men er nooit zal in slagen alle stellingen tot een beperkt aantal axioma’s te herleiden. Kan op een analoge manier niet gesteld worden dat men met elementaire wetten alleen niet in staat zal zijn om de ganse werkelijkheid compleet te verklaren?

Indien men er niet in slaagt het gedrag van de hogere lagen van de werkelijkheid tot de eigenschappen van de lagere lagen te herleiden is men verplicht bijkomende, emergente eigenschappen in te voeren. Zoals reeds opgemerkt werd verklaart men emergentie door te stellen dat het geheel groter of meer is dan de som van zijn delen. Eigenlijk zou men beter stellen dat het geheel anders is dan de som van de delen. Dit anders zijn kan dan toegeschreven worden aan de opgedoken emergente eigenschappen. "Echt" emergente eigenschappen zijn niet reductionistisch verklaarbaar. Een reductionistische verklaring is dan wezenlijk uitgesloten. Emergentie wordt dan in verband gebracht met het onverwachte, niet gepredetermineerde, echt nieuwe en creatieve in de werkelijkheid. Emergentie kan ook het gevolg zijn van de complexiteit van de problematiek die een herleiding tot elementaire wetten praktisch onmogelijk maakt.

Echte emergentie wordt in de reductionistische georiënteerde exacte wetenschap niet aanvaard. Een volledige reductionistische verklaring van de werkelijkheid is het uiteindelijke doel. Chaotisch gedrag en de stelling van Gödel wijzen er echter op dat het reductionistische project niet volledig haalbaar is en tenslotte niet houdbaar zal blijken [3]. Met een beperkt aantal axioma’s, fundamentele wetten of basisregels zal men niet in staat zijn om de werkelijkheid volledig te vatten en betrouwbare voorspellingen te doen. Zelfs indien de werkelijkheid theoretisch volledig tot elementaire wetten reduceerbaar is, zal de complexiteit zo groot blijken dat men met deze wetten in de hogere lagen niets kan uitrichten. Een bedrijfleider heeft geen directe boodschap aan de kwantummechanica. Hoe dan ook, zelfs wie echte emergentie niet aanvaardt zal tot een pragmatische benadering verplicht worden die de werkelijkheid als gelaagd ziet en het opduiken van emergente eigenschappen aanneemt. De werkelijkheid is immers zo ingewikkeld dat men redelijkerwijs niet kan verwachten dat de elementaire wetten voor het oplossen van hoog niveau problemen bruikbaar zullen zijn. Men dient noodgedwongen gebruik te maken van de globale eigenschappen die zich op ieder niveau aftekenen zonder naar het laagste niveau af te dalen. Bijgevolg is men feitelijk verplicht echte emergentie te aanvaarden zelfs al mocht dit verschijnsel zich in de werkelijkheid niet voordoen.

Zoals in de vorige paragrafen uiteengezet werd kan men op een hoger niveau van de werkelijkheid eigenschappen vinden die op de lagere niveaus niet voorkomen er waarvan men verwacht dat ze er ook niet toe kunnen gereduceerd worden. Er bestaan sterke indicaties dat dit niet alleen het gevolg is van de grote "afstand" tussen de hogere en lagere lagen maar dat er eveneens principiële redenen zijn die een herleiding beletten. De elementaire wetten alleen blijken niet te volstaan om bepaalde emergente eigenschappen te verklaren. De onderliggende lagen bieden wel de mogelijkheidsvoorwaarden voor het gedrag op hoog niveau maar schijnen dit gedrag dan niet volledig te bepalen. Hoewel de basiswetten gekend zijn slaagt men er niet in om een aantal complexe verschijnselen op een betrouwbare wijze te voorspellen of om een algemeen bewijs te vinden voor bepaalde eigenschappen. Door het aannemen van emergente eigenschappen vult men in feite het "reductionistisch deficit" aan. Het opklimmen naar een hoger niveau van de werkelijkheid resulteert bijgevolg in een toenemende reductionistische onbepaaldheid. De elementaire wetten leggen blijkbaar niet alles volledig vast en laten ruimte voor het onvoorspelbare, het onverwachte en het creatieve. Er kunnen zich daardoor nieuwe mogelijkheden ontvouwen die de wereld interessanter en boeiender maken.

Noten

  1. Karl Popper spreekt van Wereld 1, 2 en 3. Wereld 1 is de wereld van de natuur, Wereld 2 de wereld van het psychisme en Wereld 3 de wereld van de cultuur. De relatie tussen deze drie werkelijkheidsniveaus wordt uitgebreid behandeld door Jan Van der Veken in: Op zoek naar een geïntegreerd wereldbeeld, Bart Raymakers en André van de Putte (red.), Lessen voor de eenentwintigste eeuw, Universitaire Pers Leuven en Davidsfonds/Leuven, 1995.
  2. Niet herleidbaar betekent hier niet noodzakelijk dat men niet in staat is om het hoog niveau gedrag te simuleren (stap na stap berekenen). Het is echter wel onmogelijk om een algemeen bewijs te vinden dat de emergente eigenschappen uit de elementaire wetten afleidt.
  3. Andere indicaties vindt men bij Conway en Turing. Sommigen zien het ontstaan en de evolutie van complexe patronen bij cellulaire automaten als een voorbeeld van echte emergentie. Voor het "spel leven" heeft Conway aangetoond dat het resultaat van dit spel intrinsiek onvoorspelbaar is. Alhoewel het gebeuren bepaald wordt door simpele regels blijkt men niet in staat te zijn om te voorspellen of bepaalde verschijnselen oneindig lang zullen voortbestaan of na een bepaalde tijd verdwijnen. Men kan alleen de regels toepassen en zien wat er gebeurt. Hij deed daarbij een beroep op de stelling van Turing die de onbeslisbaarheid van het stopprobleem aantoont. Het "Entscheidungsproblem" of de Turing machine al dan niet zal stoppen bij het berekenen van reële getallen blijkt onoplosbaar te zijn. Er bestaat geen procedure om van tevoren te beslissen of een computerprogramma bij dergelijke berekeningen voor altijd zonder resultaat zal doordraaien of na een zekere zal tijd stoppen en resultaat opleveren. Het is opmerkelijk dat deze stelling ook kan gebruikt worden om de stelling van Gödel te bewijzen.

05.04.2000

26.04.2002